最小二乘法的矩阵推导

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Matrix derivation of the least squares method and its geometric interpretation

最小二乘法的矩阵形式推导

  1. 问题设定

给定一组观测数据 (xi,yi)(x_i, y_i)，其中 i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n，我们希望拟合一个线性模型：

y=Xβ+ε y = X\beta + \varepsilon

其中：
y∈Rny \in \mathbb{R}^n 是观测值向量；
X∈Rn×pX \in \mathbb{R}^{n \times p} 是设计矩阵（每一行对应一个样本的特征）；
β∈Rp\beta \in \mathbb{R}^p 是待估计的参数向量；
ε∈Rn\varepsilon \in \mathbb{R}^n 是误差向量。

我们的目标是找到 β^\hat{\beta}，使得残差平方和（RSS）最小：

RSS(β)=(y−Xβ)2=(y−Xβ)⊤(y−Xβ) \text{RSS}(\beta) = (y - X\beta )^2 = (y - X\beta)^\top (y - X\beta)
  1. 目标函数展开

展开 RSS：

RSS(β)=(y−Xβ)⊤(y−Xβ)=y⊤y−y⊤Xβ−β⊤X⊤y+β⊤X⊤Xβ=y⊤y−2β⊤X⊤y+β⊤X⊤Xβ \begin{aligned} \text{RSS}(\beta) &= (y - X\beta)^\top (y - X\beta) \\ &= y^\top y - y^\top X\beta - \beta^\top X^\top y + \beta^\top X^\top X \beta \\ &= y^\top y - 2\beta^\top X^\top y + \beta^\top X^\top X \beta \end{aligned}

（利用了标量转置不变性和 (Xβ)⊤y=β⊤X⊤y(X\beta)^\top y = \beta^\top X^\top y）
3. 求导并令梯度为零

对 β\beta 求梯度（使用矩阵微分）：

∂RSS∂β=−2X⊤y+2X⊤Xβ \frac{\partial \text{RSS}}{\partial \beta} = -2 X^\top y + 2 X^\top X \beta

令梯度为零：

−2X⊤y+2X⊤Xβ=0⇒X⊤Xβ=X⊤y -2 X^\top y + 2 X^\top X \beta = 0 \quad \Rightarrow \quad X^\top X \beta = X^\top y

这就是正规方程（Normal Equation）。
4. 解出最优参数

若 X⊤XX^\top X 可逆（即 XX 列满秩），则最小二乘解为：

β^=(X⊤X)−1X⊤y \hat{\beta} = (X^\top X)^{-1} X^\top y

这个 β^\hat{\beta} 使得残差平方和最小。
5. 总结
最小二乘法通过最小化残差平方和来估计线性模型参数。矩阵形式简洁且便于编程实现。关键公式：β^=(X⊤X)−1X⊤y\hat{\beta} = (X^\top X)^{-1} X^\top y, 要求 X⊤XX^\top X 可逆（即 XX 列满秩）。